「２つの自然数 MとN （M＞N）について MをNで割った時の商をQ、余りをRとした時、
MとNの最大公約数は NとRの最大公約数に等しい」
何が言いたいのかよくわからないので具体的な数字で考えてみましょう
667 と203の最大公約数（G）を求めたいとします
667 ÷ 203 ＝ 3 ・・・58 （Gは203と58の最大公約数に等しい）
203 ÷ 58 ＝ 3 ・・・29 （Gは 58と29の最大公約数に等しい）
58 ÷ 29 ＝ 2 ・・・ 0 （Gは 29であるとわかります）
これを利用して 24x +19 y = 1・・・★ を満たす整数解 ( x , y ) を求める
※ 24 と19で互除法を適用するらしい
24 = 19 × 1 + 5 ⇒ 5 = 24 – 19 × 1 ・・・①
19 = 5 × 3 + 4 ⇒ 4 = 19 – 5 × 3 ・・・②
5 = 4 × 1 + 1 ⇒ 1 = 5 – 4 × 1 ・・・③ (=1 になったのでここで終了）
③に②を代入 1 = 5 – ( 19 – 5 × 3 ) × 1 = 5 × 4 – 19・・・④
④に①を代入 1 = ( 24 – 19 × 1 ) × 4 – 19 =24× 4 – 19 × 5
ここで( x , y ) = (4 , -5 )の時に★が成り立つことがわかる
つまり 24 × 4 + 19 × ( – 5 ) = 1 ・・・⑤ が成り立つ
★- ⑤ 24× ( x – 4 ) + 19 × ( y +5 ) = 0
x – 4 = -19k y+5 = 24k (kは整数） で成立
∴ x = – 19k +4 y =24k -5 (kは整数）ですべての整数の解が出るというのだ。が年寄りのじじには何ともわかりにくいのだ。
自分だったら
24x +19 y =19(x+y) +5x = 5 {3(x+y) + x} + 4 ( x + y ) =1 ここまでやれば {3(x+y) + x}=1 , ( x + y )= -1 で式が成立することがわかる。 これを連立して x= 4 , y = -5 がでればあとは同じ。
おそらくやっていることは同じだと思うけど・・・・